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segunda-feira, 17 de julho de 2017
O Pêndulo De Foucault
O Pêndulo De Foucault
Muitas aplicações de mecânica clássica estão presentes em qualquer livro texto de graduação ou mesmo às vezes em livros de física do ensino médio. Entre elas, estão certamente: o plano inclinado, o oscilador harmônico e o pêndulo. Estes exemplos são muito interessantes pois podemos estudar as três leis de Newton, e a atuação de cada tipo de força, dentre elas a força peso. Neste breve texto pretendo falar um pouco sobre o pêndulo, um em particular, chamado pêndulo de Foucault. O fato deste experimento ser de importância para a física é que com ele podemos verificar o movimento de rotação da Terra sem necessitarmos fazer observações do céu.
Primeiramente, vamos ver rapidamente as propriedades de um pêndulo simples. Lembro aqui que muito material sobre o assunto “pêndulo” em física pode ser encontrado em qualquer livro texto ou mesmo na Internet. Um pêndulo simples em resumo não é nada além de um sistema mecânico no qual temos energia cinética sendo convertida em energia potencial e vice-versa. Para pequenos ângulos de oscilação, desprezando a resistência do ar ao movimento, a freqüência de oscilação é ω = (g/l)1/2, e o período de oscilação é dado por 2π(l/g)1/2, onde g é aceleração da gravidade na Terra e l é o comprimento do fio do ponto de suspensão até a massa suspensa. Note que a massa do corpo atrelado ao fio não aparece nas equações acima.
Agora, vamos ver as peculiaridades do pêndulo de Foucault. A principal característica deste pêndulo está no comprimento de seu fio, na verdade uma haste. Como podemos ver na última equação, quanto maior for a haste do pêndulo, maior será seu período. Outra característica fundamental é que diferentemente do pêndulo simples, que oscila apenas numa única direção, o pêndulo de Foucault é livre para oscilar em todo o plano x-y, pois em seu ponto de suspensão no teto há um mecanismo que minimiza ao máximo o atrito e que, portanto, permite este movimento.
Então, qual foi o experimento realizado pelo físico francês Jean Foucault? O que este físico fez em 1851 foi suspender uma esfera de 30 Kg por um fio de 67 metros de comprimento, oscilando-a como um pêndulo. Além disso, durante o movimento areia ia se escorrendo da esfera, com a intenção de marcar no chão a trajetória do pêndulo. O que se verificou foi que o rastro deixado pela areia não se sobrepunha um ao outro, mas sim existia um espaçamento entre um e outro a cada período do pêndulo completado, como está exageradamente ilustrado na figura abaixo.
Se estivéssemos em um sistema totalmente inercial, então o movimento de tal pêndulo seria em uma linha reta, ou seja, os traços de areia iriam se sobrepor, sem exceção, a menos que o movimento inicial do pêndulo começasse já com uma força que o fizesse movimentar pelo plano x-y. Entretanto, não é o que ocorre, devido ao movimento de rotação da Terra. Se estivéssemos em um referencial inercial fora da Terra, seria possível visualizar o pêndulo oscilando sempre em linha reta e a Terra rotacionando em seu movimento incessante. Porém como estamos atrelados à superfície da Terra vemos o pêndulo girar em torno de seu de fixação.
Sem recorrer a qualquer tipo de demonstração matemática, o que pode ser encontrado em livros textos de física, o tempo para uma rotação completa do plano de oscilação, considerando uma latitude λ, é dado por T(λ) = 24/sen λ, onde o tempo aqui é dado em horas. Assim, é fácil notar que os únicos lugares em que o tempo de rotação completa do plano de oscilação do pêndulo de Foucault é igual a 24 horas são nos pólos norte e sul, onde temos λ = 90 graus. Vale notar também que, assim como quando rosqueamos uma porca em um parafuso, visto por cima e visto por baixo deste, o movimento que devemos realizar são opostos, o movimento do pêndulo de Foucault ocorre no sentido horário no hemisfério norte e no sentido anti-horário no hemisfério sul. Abaixo está uma esboço da Terra e de sua latitude, apenas a nível de curiosidade.
Logo abaixo também podemos ver um vídeo onde se mostra o funcionamento de um pêndulo de Foucault, onde a constatação da rotação da Terra por traços de areia foi substituída por pequenos pinos que são derrubados ao logo do movimento. Vale a pena dar uma olhada.
Bom, é isso. Espero ter ajudado em passar a idéia desse importante experimento na história da física e um pouco sobre seu funcionamento. Qualquer discussão é bem vinda. Abraço a todos!
Fonte: http://www.inape.org.br/coluna/fisica-conceito-historia/pendulo-foucault
segunda-feira, 6 de fevereiro de 2017
Propriedades Do Triângulo De Pascal
Propriedades Do Triângulo
De Pascal
domingo, 5 de fevereiro de 2017
História Do Cálculo Diferencial E Integral
História Do Cálculo
Diferencial E Integral
O Cálculo teve sua origem nas
dificuldades encontradas pelos antigos matemáticos gregos na sua tentativa de
expressar suas idéias intuitivas sobre as razões ou proporções de segmentos de
retas, que vagamente reconheciam como contínuas, em termos de números, que
consideravam discretos. Iremos encontrar a origem das idéias fundamentais do
Cálculo Diferencial e Integral na história da Matemática grega. Segundo a História, os gregos
possuíam já na época em que Euclides escrevia "Os Elementos", quase
todos os fundamentos para desenvolver o Cálculo, mas ficaram presos por algumas
concepções restritivas. Foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão
dos fenômenos ligados ao infinito, ao contínuo, ao infinitésimo, em busca de
uma explicação para o movimento e as transformações dos seres. Da idéia de
movimento virão os primeiros conceitos do Cálculo Diferencial e Integral. Após
a crise dos incomensuráveis, que pode ser situada no seio da nascente escola
pitagórica, irá surgir outra grande polêmica muito fértil entre os filósofos
pré-socráticos. Ao que tudo indica, o problema da incomensurabilidade entre
magnitudes gerou algumas concepções polêmicas acerca da natureza do mundo
físico, como a doutrina atomística, defendida por Demócrito, que propunha a
existência do infinitamente pequeno compondo o ser das coisas. Demócrito, no
século quinto a.C., foi o primeiro matemático grego a determinar o volume da
pirâmide e do cone. Apesar de os egípcios já saberem encontrar o volume da
pirâmide de base quadrada, o mérito de Demócrito está em ter generalizado, bem
ao estilo grego, a maneira de determinar o volume para pirâmides de base
poligonal qualquer. Para obter o volume do cone, bastava uma inferência natural
obtida pelo aumento, repetido indefinidamente, do número de lados do polígono
regular formando a base da pirâmide. Foi, assim, o primeiro a falar de infinitesimais, pensando em
utilizar lâminas circulares infinitamente finas para calcular o volume de
cilindros e cones, antecipando-se assim ao teorema de Cavalieri, nesses casos.
A teoria dos infinitesimais de Demócrito e seus seguidores foi combatida
duramente por outra escola filosófica, nascida em Eléa (Magna Grécia), pelo
influxo das idéias de Parmênides. A doutrina eleática chamava a atenção para os
paradoxos e contradições existentes na concepção do mundo físico como composto
por partículas infinitamente pequenas e indivisíveis. Propunha, em
substituição, considerar a imutabilidade e unidade essencial do mundo físico. Um
aluno de Parmênides, Zeno de Eléa, entrará para a História com seus famosos
dons dialéticos. Zeno dizia que a idéia de infinitésimos é totalmente absurda,
pois se possuem algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá
compor uma reta de comprimento infinito; e se não têm nenhum comprimento, então
uma quantidade infinita deles tampouco terá comprimento algum. Além disso, dirá
também: aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e subtraído de outro
não o faz menor, é simplesmente nada. Mais famosos ainda que esses argumentos
sejam seus quatro paradoxos sobre a impossibilidade do movimento. A questão por
trás dos paradoxos está em se considerar tempo contínuo e espaço discreto, ou
vice versa. Os paradoxos de Zeno recolhem a sensação de certo desamparo
intuitivo, pois relatam uma situação de perplexidade comum frente à
continuidade e ao infinito. Por exemplo, no caso do Paradoxo da Dicotomia, Zeno
nos coloca frente à aparente impossibilidade de percorrermos um número infinito
de distâncias num tempo finito. No Paradoxo da Flecha, Zeno vai contra a noção
de espaço e tempo constituído por partes indivisíveis. Os paradoxos de Zeno
ilustram a perplexidade da mente ante os fenômenos do movimento e da
velocidade, trazendo à tona controvérsias intrínsecas que, em geral, tendem a
passar despercebidas. Como conseqüência da perplexidade ante esses fenômenos,
os gregos desenvolveram o que se chamou de Horror ao Infinito, que na
Matemática teve conseqüências muito importantes. Segundo Boyer, a Matemática
adquiriu outra configuração após Zeno: As grandezas não são associadas a
números ou pedras, mas a segmentos de reta. Em Os Elementos os próprios
inteiros são representados por segmentos. O reino dos números continuava a ser
discreto, mas o mundo das grandezas contínuas (e esse continha a maior parte da
Matemática pré-helênica e pitagórica) era algo à parte dos números e devia ser
tratado por métodos geométricos. De início, a atitude se concretizou numa
separação quase completa entre a Teoria dos Números e a Geometria. Pode-se
dizer que o "horror ao infinito" gerou, ou ao menos contribuiu
significativamente, para o desenvolvimento da Álgebra Geométrica, que consistia
na resolução de problemas aritméticos ou algébricos lidando diretamente com
grandezas contínuas. A álgebra geométrica ficou registrada principalmente no
Livro II de Os Elementos de Euclides, obra cujos treze volumes foram publicados
entre 330 e 320 a.C. A obra de Euclides representa o início da busca que
resultará no Cálculo Diferencial e Integral. Euclides reúne toda a elaboração
grega dos séculos anteriores, e registra o momento em que os pesquisadores
começam a se voltar para a possibilidade da exploração da continuidade e da
geometria em termos de análise algébrica, interessando-se mais por métodos de
redução como o método de exaustão de Eudoxo. Não é por acaso que Arquimedes,
bem como todos os criadores do Cálculo no século dezessete, irão se voltar para
Euclides e tentar buscar aí as idéias do Cálculo. Para verificarmos de que
forma os gregos estavam próximos do Cálculo, é preciso explicar antes o Método
de Exaustão de Eudoxo e a utilização que dele fez Arquimedes. O surgimento do
Cálculo no século dezessete está em plena conexão com a busca de meios de
simplificar os métodos gregos, como o método da exaustão. Para avaliar até que
ponto chegaram os gregos, basta verificar que Arquimedes (287-212 a.C) realizou
o Cálculo da área sob a parábola antecipando-se, assim, em mais de dezessete
séculos aos resultados do Cálculo Integral. Muitos alunos esbarram nas
dificuldades representadas pela linguagem matemática do Cálculo, e não pelas
idéias em si. Afinal, como já foi falado, os gregos estiveram a um passo da
construção do Cálculo dois séculos antes de Cristo, sem ter ainda sequer uma
linguagem algébrica simbólica. As idéias fundamentais do Cálculo podem ser
assim construídas, desde que se leve em consideração a distinção entre a lógica
da Matemática pronta e a lógica da Matemática em construção. A maneira de
ensinar deve seguir muito mais a lógica da Matemática em construção, e não a
lógica da Matemática pronta e formalizada.
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