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domingo, 5 de fevereiro de 2017

História Do Cálculo Diferencial E Integral

18:30 | Postado por | | Editar post

História Do Cálculo Diferencial E Integral

O Cálculo teve sua origem nas dificuldades encontradas pelos antigos matemáticos gregos na sua tentativa de expressar suas idéias intuitivas sobre as razões ou proporções de segmentos de retas, que vagamente reconheciam como contínuas, em termos de números, que consideravam discretos. Iremos encontrar a origem das idéias fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral na história da Matemática grega. Segundo a História, os gregos possuíam já na época em que Euclides escrevia "Os Elementos", quase todos os fundamentos para desenvolver o Cálculo, mas ficaram presos por algumas concepções restritivas. Foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão dos fenômenos ligados ao infinito, ao contínuo, ao infinitésimo, em busca de uma explicação para o movimento e as transformações dos seres. Da idéia de movimento virão os primeiros conceitos do Cálculo Diferencial e Integral. Após a crise dos incomensuráveis, que pode ser situada no seio da nascente escola pitagórica, irá surgir outra grande polêmica muito fértil entre os filósofos pré-socráticos. Ao que tudo indica, o problema da incomensurabilidade entre magnitudes gerou algumas concepções polêmicas acerca da natureza do mundo físico, como a doutrina atomística, defendida por Demócrito, que propunha a existência do infinitamente pequeno compondo o ser das coisas. Demócrito, no século quinto a.C., foi o primeiro matemático grego a determinar o volume da pirâmide e do cone. Apesar de os egípcios já saberem encontrar o volume da pirâmide de base quadrada, o mérito de Demócrito está em ter generalizado, bem ao estilo grego, a maneira de determinar o volume para pirâmides de base poligonal qualquer. Para obter o volume do cone, bastava uma inferência natural obtida pelo aumento, repetido indefinidamente, do número de lados do polígono regular formando a base da pirâmide. Foi, assim, o primeiro a falar de infinitesimais, pensando em utilizar lâminas circulares infinitamente finas para calcular o volume de cilindros e cones, antecipando-se assim ao teorema de Cavalieri, nesses casos. A teoria dos infinitesimais de Demócrito e seus seguidores foi combatida duramente por outra escola filosófica, nascida em Eléa (Magna Grécia), pelo influxo das idéias de Parmênides. A doutrina eleática chamava a atenção para os paradoxos e contradições existentes na concepção do mundo físico como composto por partículas infinitamente pequenas e indivisíveis. Propunha, em substituição, considerar a imutabilidade e unidade essencial do mundo físico. Um aluno de Parmênides, Zeno de Eléa, entrará para a História com seus famosos dons dialéticos. Zeno dizia que a idéia de infinitésimos é totalmente absurda, pois se possuem algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá compor uma reta de comprimento infinito; e se não têm nenhum comprimento, então uma quantidade infinita deles tampouco terá comprimento algum. Além disso, dirá também: aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e subtraído de outro não o faz menor, é simplesmente nada. Mais famosos ainda que esses argumentos sejam seus quatro paradoxos sobre a impossibilidade do movimento. A questão por trás dos paradoxos está em se considerar tempo contínuo e espaço discreto, ou vice versa. Os paradoxos de Zeno recolhem a sensação de certo desamparo intuitivo, pois relatam uma situação de perplexidade comum frente à continuidade e ao infinito. Por exemplo, no caso do Paradoxo da Dicotomia, Zeno nos coloca frente à aparente impossibilidade de percorrermos um número infinito de distâncias num tempo finito. No Paradoxo da Flecha, Zeno vai contra a noção de espaço e tempo constituído por partes indivisíveis. Os paradoxos de Zeno ilustram a perplexidade da mente ante os fenômenos do movimento e da velocidade, trazendo à tona controvérsias intrínsecas que, em geral, tendem a passar despercebidas. Como conseqüência da perplexidade ante esses fenômenos, os gregos desenvolveram o que se chamou de Horror ao Infinito, que na Matemática teve conseqüências muito importantes. Segundo Boyer, a Matemática adquiriu outra configuração após Zeno: As grandezas não são associadas a números ou pedras, mas a segmentos de reta. Em Os Elementos os próprios inteiros são representados por segmentos. O reino dos números continuava a ser discreto, mas o mundo das grandezas contínuas (e esse continha a maior parte da Matemática pré-helênica e pitagórica) era algo à parte dos números e devia ser tratado por métodos geométricos. De início, a atitude se concretizou numa separação quase completa entre a Teoria dos Números e a Geometria. Pode-se dizer que o "horror ao infinito" gerou, ou ao menos contribuiu significativamente, para o desenvolvimento da Álgebra Geométrica, que consistia na resolução de problemas aritméticos ou algébricos lidando diretamente com grandezas contínuas. A álgebra geométrica ficou registrada principalmente no Livro II de Os Elementos de Euclides, obra cujos treze volumes foram publicados entre 330 e 320 a.C. A obra de Euclides representa o início da busca que resultará no Cálculo Diferencial e Integral. Euclides reúne toda a elaboração grega dos séculos anteriores, e registra o momento em que os pesquisadores começam a se voltar para a possibilidade da exploração da continuidade e da geometria em termos de análise algébrica, interessando-se mais por métodos de redução como o método de exaustão de Eudoxo. Não é por acaso que Arquimedes, bem como todos os criadores do Cálculo no século dezessete, irão se voltar para Euclides e tentar buscar aí as idéias do Cálculo. Para verificarmos de que forma os gregos estavam próximos do Cálculo, é preciso explicar antes o Método de Exaustão de Eudoxo e a utilização que dele fez Arquimedes. O surgimento do Cálculo no século dezessete está em plena conexão com a busca de meios de simplificar os métodos gregos, como o método da exaustão. Para avaliar até que ponto chegaram os gregos, basta verificar que Arquimedes (287-212 a.C) realizou o Cálculo da área sob a parábola antecipando-se, assim, em mais de dezessete séculos aos resultados do Cálculo Integral. Muitos alunos esbarram nas dificuldades representadas pela linguagem matemática do Cálculo, e não pelas idéias em si. Afinal, como já foi falado, os gregos estiveram a um passo da construção do Cálculo dois séculos antes de Cristo, sem ter ainda sequer uma linguagem algébrica simbólica. As idéias fundamentais do Cálculo podem ser assim construídas, desde que se leve em consideração a distinção entre a lógica da Matemática pronta e a lógica da Matemática em construção. A maneira de ensinar deve seguir muito mais a lógica da Matemática em construção, e não a lógica da Matemática pronta e formalizada.
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sábado, 29 de outubro de 2016

Grandes Cientistas: Platão

21:30 | Postado por | | Editar post
Grandes Cientistas: Platão
 
Biografia
 
Este importante filósofo grego nasceu em Atenas, provavelmente em 427 a.C. e morreu em 347 a.C. É considerado um dos principais pensadores gregos, pois influenciou profundamente a filosofia ocidental. Suas idéias baseiam-se na diferenciação do mundo entre as coisas sensíveis (mundo das idéias e a inteligência) e as coisas visíveis (seres vivos e a matéria). Filho de uma família de aristocratas, começou seus trabalhos filosóficos após estabelecer contato com outro importante pensador grego: Sócrates. Platão torna-se seguidor e discípulo de Sócrates. Em 387 a.C, fundou a Academia, uma escola de filosofia com o propósito de recuperar e desenvolver as idéias e pensamentos socráticos. Convidado pelo rei Dionísio, passa um bom tempo em Siracusa, ensinando filosofia na corte. Ao voltar para Atenas, passa a administrar e comandar a Academia, destinando mais energia no estudo e na pesquisa em diversas áreas do conhecimento: ciências, matemática, retórica (arte de falar em público), além da filosofia. Suas obras mais importantes e conhecidas são: Apologia de Sócrates, em que valoriza os pensamentos do mestre; O Banquete, fala sobre o amor de uma forma dialética; e A República, em que analisa a política grega, a ética, o funcionamento das cidades, a cidadania e questões sobre a imortalidade da alma.
 
Idéias de Platão para a educação
 
Platão valorizava os métodos de debate e conversação como formas de alcançar o conhecimento. De acordo com Platão, os alunos deveriam descobrir as coisas superando os problemas impostos pela vida. A educação deveria funcionar como forma de desenvolver o homem moral. A educação deveria dedicar esforços para o desenvolvimento intelectual e físico dos alunos. Aulas de retórica, debates, educação musical, geometria, astronomia e educação militar. Para os alunos de classes menos favorecidas, Platão dizia que deveriam buscar em trabalho a partir dos 13 anos de idade. Afirmava também que a educação da mulher deveria ser a mesma educação aplicada aos homens.
 
Frases de Platão
 
"O belo é o esplendor da verdade".
 
"O que mais vale não é viver, mas viver bem".
 
"Vencer a si próprio é a maior de todas as vitórias".
 
"O amor é uma perigosa doença mental".
 
"Praticar injustiças é pior que sofrê-las".
 
"A harmonia se consegue através da virtude".
 
"Teme a velhice, pois ela nunca vem só".
 
"A educação deve possibilitar ao corpo e à alma toda a perfeição e a beleza que podem ter".
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quinta-feira, 20 de outubro de 2016

Matemática 314

22:58 | Postado por | | Editar post
O Matemática 314 é um projeto com o objetivo de prestar assessoria ao infinito mundo numérico, contando com consultorias em aulas particulares, revisões e reforço nas áreas de Matemática, Estatística e Cálculo para todos os níveis e idades, com uma abordagem diferente e inovadora. Atendimento: Niterói, Rio De Janeiro e Grande Rio.

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domingo, 25 de setembro de 2016

Top 10: Os Matemáticos Mais Importantes Da História

22:24 | Postado por | | Editar post

Top 10: Os Matemáticos Mais Importantes Da História


10- RENÉ DESCARTES

Nacionalidade: Francês

Grande Feito: Criou a geometria analítica no século 17

 

Responsável por representar os números naquele gráfico com eixos x e y, batizado de cartesiano em sua homenagem. A geometria analítica revolucionou a matemática, tornando mais fácil “enxergar” relações entre números e compreender conceitos abstratos. Descartes morreu de pneumonia no castelo da rainha Cristina da Suécia, que o contratou como professor de filosofia.

 

9- HENRI POINCARÉ

Nacionalidade: Francês

Grande Feito: Inventou a topologia algébrica no século 19

 

A partir dele, passou-se a classificar sólidos imaginários como cubos, esferas e cones por meio de teoremas. Com a topologia algébrica, é possível demonstrar, por exemplo, como uma caneca é a deformação da metade de um aro – seja lá o que isso quer dizer… A conjectura (hipótese não comprovada) que ele propôs em 1904 só foi resolvida em 2006.

 

8- EUCLIDES

Nacionalidade: Grego

Grande Feito: Fundamentou a geometria no século 3 a.C.

 

Seu livro Elementos, com os fundamentos da geometria clássica, ainda é leitura obrigatória entre os matemáticos. Na obra de 23 séculos atrás estão compilados seus axiomas – verdades lógicas que valem até hoje. Um exemplo de axioma é “pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos”. A obra-prima de Euclides é o segundo livro mais traduzido da história, atrás apenas da Bíblia.

 

7- AL-KHWARIZMI

Nacionalidade: Persa

Grande Feito: Criou bases teóricas para a álgebra moderna no século 8

 

Ele fundamentou a matemática ocidental. Sua obra descreve métodos para resolver equações lineares e quadráticas, como ensinam na escola até hoje. O italiano Fibonacci levou os ensinamentos de Khwarizmi para a Europa, propagando o uso de numerais arábicos e dos algarismos de 0 a 9 para representá-los.

 

6- ARQUIMEDES

Nacionalidade: Grego

Grande Feito: Aplicou a geometria na prática no século 3 a.C.

 

O principal matemático da Antiguidade uniu o mundo abstrato dos números com o mundo real. É considerado pai da mecânica por estudar forças, alavancas e densidade de materiais. Foi o primeiro

a notar a relação constante entre o diâmetro e o raio de qualquer circunferência: o número π (pi). Arquimedes também era inventor. Entre seus trabalhos estão o parafuso de Arquimedes, usado para tirar água de dentro de navios, e o aperfeiçoamento da catapulta.

 

5- ISAAC NEWTON

Nacionalidade: Inglês

Grande Feito: Criou o cálculo no século 17

 

Responsável por avanços científicos que mudaram a humanidade, como a lei da gravitação universal, Newton também era um matemático notável, considerado um dos inventores do cálculo – disciplina avançada da matemática, ensinada em cursos superiores específicos. Sem o cálculo seria impossível medir precisamente o volume de objetos curvos ou calcular a velocidade de objetos em aceleração.

 

4- GOTTFRIED LEIBNIZ

Nacionalidade: Alemão

Grande Feito: Criou o cálculo no século 17

 

Não era popular como Newton, mas quem o conheceu compara seu gênio ao de Da Vinci. Leibniz aprofundou o conceito de grandezas infinitesimais, ou seja, infinitamente pequenas – que pelo nome podem até não parecer, mas são muito relevantes na matemática. Newton acusou Leibniz de plágio, mas ficou comprovado que ambos desenvolveram estudos sobre o cálculo ao mesmo tempo, chegando às mesmas conclusões.

 

3- ÉVARISTE GALOIS

Nacionalidade: Francês

Grande Feito: Criou as estruturas algébricas no século 19

 

Rebelde e genial, é o único grande matemático cuja obra não tem erros, talvez por ser muito curta. Seu principal trabalho foi em polinômios e estruturas algébricas, o que o levou a solucionar problemas matemáticos em aberto desde a Antiguidade. Especialistas acreditam que se não tivesse morrido aos 21 anos – em um duelo -, seria o número um da nossa lista.

 

2- CARL GAUSS

Nacionalidade: Alemão

Grande Feito: Mais completo matemático da primeira metade do século 19

 

O “príncipe dos matemáticos” publicou, aos 21 anos, sua obra-prima sobre teoria dos números. Morreu aos 77 anos como o maior generalista da matemática, contribuindo em áreas como estatística, análise, geometria diferencial e geodésica, para citar poucas. A extinta nota de dez marcos alemã trazia um retrato do matemático com uma de suas “invenções”: a curva de Gauss, que sempre aparece em gráficos estatísticos.

 
1- LEONHARD EULER
Nacionalidade: Suíço
Grande Feito: Revolucionou quase toda a matemática no século 18

 

Seus quase 800 livros fundamentaram campos que seriam estudados futuramente, como topologia, e revolucionou quase todos os que já estavam em voga, como cálculo e funções. Ao solucionar um problema que envolvia sete pontes que ligavam duas ilhas na cidade de Königsberg, antiga Prússia, fundou a teoria dos grafos, que possibilitou o surgimento da topologia e é usada hoje, por exemplo, para montar as tabelas do Campeonato Brasileiro! Euler ficou cego aos 50 anos e passou a ditar seus textos ao filho. Muitos matemáticos avaliam que seu trabalho ficou mais rico após perder a visão.

– O matemático francês François Arago declarou que Euler calculava sem esforço, “como os homens respiram e as águias mantêm-se no ar”.

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