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segunda-feira, 17 de julho de 2017

O Pêndulo De Foucault

21:58 | Postado por | | Editar post


O Pêndulo De Foucault

Muitas aplicações de mecânica clássica estão presentes em qualquer livro texto de graduação ou mesmo às vezes em livros de física do ensino médio. Entre elas, estão certamente: o plano inclinado, o oscilador harmônico e o pêndulo. Estes exemplos são muito interessantes pois podemos estudar as três leis de Newton, e a atuação de cada tipo de força, dentre elas a força peso. Neste breve texto pretendo falar um pouco sobre o pêndulo, um em particular, chamado pêndulo de Foucault. O fato deste experimento ser de importância para a física é que com ele podemos verificar o movimento de rotação da Terra sem necessitarmos fazer observações do céu.

Primeiramente, vamos ver rapidamente as propriedades de um pêndulo simples. Lembro aqui que muito material sobre o assunto “pêndulo” em física pode ser encontrado em qualquer livro texto ou mesmo na Internet. Um pêndulo simples em resumo não é nada além de um sistema mecânico no qual temos energia cinética sendo convertida em energia potencial e vice-versa. Para pequenos ângulos de oscilação, desprezando a resistência do ar ao movimento, a freqüência de oscilação é ω = (g/l)1/2, e o período de oscilação é dado por 2π(l/g)1/2, onde g é aceleração da gravidade na Terra e l é o comprimento do fio do ponto de suspensão até a massa suspensa. Note que a massa do corpo atrelado ao fio não aparece nas equações acima.

Agora, vamos ver as peculiaridades do pêndulo de Foucault. A principal característica deste pêndulo está no comprimento de seu fio, na verdade uma haste. Como podemos ver na última equação, quanto maior for a haste do pêndulo, maior será seu período. Outra característica fundamental é que diferentemente do pêndulo simples, que oscila apenas numa única direção, o pêndulo de Foucault é livre para oscilar em todo o plano x-y, pois em seu ponto de suspensão no teto há um mecanismo que minimiza ao máximo o atrito e que, portanto, permite este movimento.

Então, qual foi o experimento realizado pelo físico francês Jean Foucault? O que este físico fez em 1851 foi suspender uma esfera de 30 Kg por um fio de 67 metros de comprimento, oscilando-a como um pêndulo. Além disso, durante o movimento areia ia se escorrendo da esfera, com a intenção de marcar no chão a trajetória do pêndulo. O que se verificou foi que o rastro deixado pela areia não se sobrepunha um ao outro, mas sim existia um espaçamento entre um e outro a cada período do pêndulo completado, como está exageradamente ilustrado na figura abaixo.

 

Se estivéssemos em um sistema totalmente inercial, então o movimento de tal pêndulo seria em uma linha reta, ou seja, os traços de areia iriam se sobrepor, sem exceção, a menos que o movimento inicial do pêndulo começasse já com uma força que o fizesse movimentar pelo plano x-y. Entretanto, não é o que ocorre, devido ao movimento de rotação da Terra. Se estivéssemos em um referencial inercial fora da Terra, seria possível visualizar o pêndulo oscilando sempre em linha reta e a Terra rotacionando em seu movimento incessante. Porém como estamos atrelados à superfície da Terra vemos o pêndulo girar em torno de seu de fixação.

Sem recorrer a qualquer tipo de demonstração matemática, o que pode ser encontrado em livros textos de física, o tempo para uma rotação completa do plano de oscilação, considerando uma latitude λ, é dado por T(λ) = 24/sen λ, onde o tempo aqui é dado em horas. Assim, é fácil notar que os únicos lugares em que o tempo de rotação completa do plano de oscilação do pêndulo de Foucault é igual a 24 horas são nos pólos norte e sul, onde temos λ = 90 graus. Vale notar também que, assim como quando rosqueamos uma porca em um parafuso, visto por cima e visto por baixo deste, o movimento que devemos realizar são opostos, o movimento do pêndulo de Foucault ocorre no sentido horário no hemisfério norte e no sentido anti-horário no hemisfério sul. Abaixo está uma esboço da Terra e de sua latitude, apenas a nível de curiosidade.

 

Logo abaixo também podemos ver um vídeo onde se mostra o funcionamento de um pêndulo de Foucault, onde a constatação da rotação da Terra por traços de areia foi substituída por pequenos pinos que são derrubados ao logo do movimento. Vale a pena dar uma olhada.

Bom, é isso. Espero ter ajudado em passar a idéia desse importante experimento na história da física e um pouco sobre seu funcionamento. Qualquer discussão é bem vinda. Abraço a todos!

Fonte: http://www.inape.org.br/coluna/fisica-conceito-historia/pendulo-foucault

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domingo, 5 de fevereiro de 2017

História Do Cálculo Diferencial E Integral

18:30 | Postado por | | Editar post

História Do Cálculo Diferencial E Integral

O Cálculo teve sua origem nas dificuldades encontradas pelos antigos matemáticos gregos na sua tentativa de expressar suas idéias intuitivas sobre as razões ou proporções de segmentos de retas, que vagamente reconheciam como contínuas, em termos de números, que consideravam discretos. Iremos encontrar a origem das idéias fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral na história da Matemática grega. Segundo a História, os gregos possuíam já na época em que Euclides escrevia "Os Elementos", quase todos os fundamentos para desenvolver o Cálculo, mas ficaram presos por algumas concepções restritivas. Foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão dos fenômenos ligados ao infinito, ao contínuo, ao infinitésimo, em busca de uma explicação para o movimento e as transformações dos seres. Da idéia de movimento virão os primeiros conceitos do Cálculo Diferencial e Integral. Após a crise dos incomensuráveis, que pode ser situada no seio da nascente escola pitagórica, irá surgir outra grande polêmica muito fértil entre os filósofos pré-socráticos. Ao que tudo indica, o problema da incomensurabilidade entre magnitudes gerou algumas concepções polêmicas acerca da natureza do mundo físico, como a doutrina atomística, defendida por Demócrito, que propunha a existência do infinitamente pequeno compondo o ser das coisas. Demócrito, no século quinto a.C., foi o primeiro matemático grego a determinar o volume da pirâmide e do cone. Apesar de os egípcios já saberem encontrar o volume da pirâmide de base quadrada, o mérito de Demócrito está em ter generalizado, bem ao estilo grego, a maneira de determinar o volume para pirâmides de base poligonal qualquer. Para obter o volume do cone, bastava uma inferência natural obtida pelo aumento, repetido indefinidamente, do número de lados do polígono regular formando a base da pirâmide. Foi, assim, o primeiro a falar de infinitesimais, pensando em utilizar lâminas circulares infinitamente finas para calcular o volume de cilindros e cones, antecipando-se assim ao teorema de Cavalieri, nesses casos. A teoria dos infinitesimais de Demócrito e seus seguidores foi combatida duramente por outra escola filosófica, nascida em Eléa (Magna Grécia), pelo influxo das idéias de Parmênides. A doutrina eleática chamava a atenção para os paradoxos e contradições existentes na concepção do mundo físico como composto por partículas infinitamente pequenas e indivisíveis. Propunha, em substituição, considerar a imutabilidade e unidade essencial do mundo físico. Um aluno de Parmênides, Zeno de Eléa, entrará para a História com seus famosos dons dialéticos. Zeno dizia que a idéia de infinitésimos é totalmente absurda, pois se possuem algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá compor uma reta de comprimento infinito; e se não têm nenhum comprimento, então uma quantidade infinita deles tampouco terá comprimento algum. Além disso, dirá também: aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e subtraído de outro não o faz menor, é simplesmente nada. Mais famosos ainda que esses argumentos sejam seus quatro paradoxos sobre a impossibilidade do movimento. A questão por trás dos paradoxos está em se considerar tempo contínuo e espaço discreto, ou vice versa. Os paradoxos de Zeno recolhem a sensação de certo desamparo intuitivo, pois relatam uma situação de perplexidade comum frente à continuidade e ao infinito. Por exemplo, no caso do Paradoxo da Dicotomia, Zeno nos coloca frente à aparente impossibilidade de percorrermos um número infinito de distâncias num tempo finito. No Paradoxo da Flecha, Zeno vai contra a noção de espaço e tempo constituído por partes indivisíveis. Os paradoxos de Zeno ilustram a perplexidade da mente ante os fenômenos do movimento e da velocidade, trazendo à tona controvérsias intrínsecas que, em geral, tendem a passar despercebidas. Como conseqüência da perplexidade ante esses fenômenos, os gregos desenvolveram o que se chamou de Horror ao Infinito, que na Matemática teve conseqüências muito importantes. Segundo Boyer, a Matemática adquiriu outra configuração após Zeno: As grandezas não são associadas a números ou pedras, mas a segmentos de reta. Em Os Elementos os próprios inteiros são representados por segmentos. O reino dos números continuava a ser discreto, mas o mundo das grandezas contínuas (e esse continha a maior parte da Matemática pré-helênica e pitagórica) era algo à parte dos números e devia ser tratado por métodos geométricos. De início, a atitude se concretizou numa separação quase completa entre a Teoria dos Números e a Geometria. Pode-se dizer que o "horror ao infinito" gerou, ou ao menos contribuiu significativamente, para o desenvolvimento da Álgebra Geométrica, que consistia na resolução de problemas aritméticos ou algébricos lidando diretamente com grandezas contínuas. A álgebra geométrica ficou registrada principalmente no Livro II de Os Elementos de Euclides, obra cujos treze volumes foram publicados entre 330 e 320 a.C. A obra de Euclides representa o início da busca que resultará no Cálculo Diferencial e Integral. Euclides reúne toda a elaboração grega dos séculos anteriores, e registra o momento em que os pesquisadores começam a se voltar para a possibilidade da exploração da continuidade e da geometria em termos de análise algébrica, interessando-se mais por métodos de redução como o método de exaustão de Eudoxo. Não é por acaso que Arquimedes, bem como todos os criadores do Cálculo no século dezessete, irão se voltar para Euclides e tentar buscar aí as idéias do Cálculo. Para verificarmos de que forma os gregos estavam próximos do Cálculo, é preciso explicar antes o Método de Exaustão de Eudoxo e a utilização que dele fez Arquimedes. O surgimento do Cálculo no século dezessete está em plena conexão com a busca de meios de simplificar os métodos gregos, como o método da exaustão. Para avaliar até que ponto chegaram os gregos, basta verificar que Arquimedes (287-212 a.C) realizou o Cálculo da área sob a parábola antecipando-se, assim, em mais de dezessete séculos aos resultados do Cálculo Integral. Muitos alunos esbarram nas dificuldades representadas pela linguagem matemática do Cálculo, e não pelas idéias em si. Afinal, como já foi falado, os gregos estiveram a um passo da construção do Cálculo dois séculos antes de Cristo, sem ter ainda sequer uma linguagem algébrica simbólica. As idéias fundamentais do Cálculo podem ser assim construídas, desde que se leve em consideração a distinção entre a lógica da Matemática pronta e a lógica da Matemática em construção. A maneira de ensinar deve seguir muito mais a lógica da Matemática em construção, e não a lógica da Matemática pronta e formalizada.
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sábado, 29 de outubro de 2016

Grandes Cientistas: Platão

21:30 | Postado por | | Editar post
Grandes Cientistas: Platão
 
Biografia
 
Este importante filósofo grego nasceu em Atenas, provavelmente em 427 a.C. e morreu em 347 a.C. É considerado um dos principais pensadores gregos, pois influenciou profundamente a filosofia ocidental. Suas idéias baseiam-se na diferenciação do mundo entre as coisas sensíveis (mundo das idéias e a inteligência) e as coisas visíveis (seres vivos e a matéria). Filho de uma família de aristocratas, começou seus trabalhos filosóficos após estabelecer contato com outro importante pensador grego: Sócrates. Platão torna-se seguidor e discípulo de Sócrates. Em 387 a.C, fundou a Academia, uma escola de filosofia com o propósito de recuperar e desenvolver as idéias e pensamentos socráticos. Convidado pelo rei Dionísio, passa um bom tempo em Siracusa, ensinando filosofia na corte. Ao voltar para Atenas, passa a administrar e comandar a Academia, destinando mais energia no estudo e na pesquisa em diversas áreas do conhecimento: ciências, matemática, retórica (arte de falar em público), além da filosofia. Suas obras mais importantes e conhecidas são: Apologia de Sócrates, em que valoriza os pensamentos do mestre; O Banquete, fala sobre o amor de uma forma dialética; e A República, em que analisa a política grega, a ética, o funcionamento das cidades, a cidadania e questões sobre a imortalidade da alma.
 
Idéias de Platão para a educação
 
Platão valorizava os métodos de debate e conversação como formas de alcançar o conhecimento. De acordo com Platão, os alunos deveriam descobrir as coisas superando os problemas impostos pela vida. A educação deveria funcionar como forma de desenvolver o homem moral. A educação deveria dedicar esforços para o desenvolvimento intelectual e físico dos alunos. Aulas de retórica, debates, educação musical, geometria, astronomia e educação militar. Para os alunos de classes menos favorecidas, Platão dizia que deveriam buscar em trabalho a partir dos 13 anos de idade. Afirmava também que a educação da mulher deveria ser a mesma educação aplicada aos homens.
 
Frases de Platão
 
"O belo é o esplendor da verdade".
 
"O que mais vale não é viver, mas viver bem".
 
"Vencer a si próprio é a maior de todas as vitórias".
 
"O amor é uma perigosa doença mental".
 
"Praticar injustiças é pior que sofrê-las".
 
"A harmonia se consegue através da virtude".
 
"Teme a velhice, pois ela nunca vem só".
 
"A educação deve possibilitar ao corpo e à alma toda a perfeição e a beleza que podem ter".
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quinta-feira, 20 de outubro de 2016

Matemática 314

22:58 | Postado por | | Editar post
O Matemática 314 é um projeto com o objetivo de prestar assessoria ao infinito mundo numérico, contando com consultorias em aulas particulares, revisões e reforço nas áreas de Matemática, Estatística e Cálculo para todos os níveis e idades, com uma abordagem diferente e inovadora. Atendimento: Niterói, Rio De Janeiro e Grande Rio.

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