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sábado, 5 de setembro de 2015

Identidade de Euler: Cenas Fortes!!!

Identidade de Euler


A Matemática, às vezes, pode parecer difícil, complicada, até mesmo fora da realidade. Mas também pode ser instigante e bela. Para nós que gostamos da Matemática, nem pensamos nisso, pois já faz parte de nossas vidas.

Uma Identidade Matemática é uma igualdade que permanece verdadeira para quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, diferentemente de uma Igualdade Matemática que pode ser verdadeira somente sob condições particulares.

A Identidade de Euler reúne talvez os cinco números mais importantes da Matemática (0, 1, i, e, π) em uma simples igualdade:


Para verificar esta igualdade, vamos fazer a demonstração da Identidade de Euler. Para isso, vamos considerar o exponencial ex em sua forma de série infinita:


Usamos aqui um artifício que será muito útil para a dedução da identidade. Fazemos:


E substituímos em (1):


Do estudo dos Números Complexos, sabemos que:

Substituímos (4) em (3), encontrando 



Da relação (5), podemos ver que as séries infinitas entre parênteses nos conduz às conhecidas séries infinitas trigonométricas, vejam:

e 

Substituímos (6) e (7) na relação (5), obtendo:

Agora, se fizermos z = π, teremos:

No entanto, a trigonometria nos garante que:

e
Substituindo estes valores na relação (9), chegaremos a:




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